Уравнение Бете — Солпитера

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу, но без вывода.

Интегральная форма записи уравнения Бете — Солпитера

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции [math]\displaystyle{ \psi_{a} }[/math] (где [math]\displaystyle{ a }[/math] — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \psi(x_{2})=-i\int{d\sigma{(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\!\!/(x_{1})\psi(x_{1})} }[/math],

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», [math]\displaystyle{ n(x_{1}) }[/math] — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие [math]\displaystyle{ x_{2} }[/math], [math]\displaystyle{ S_{F} }[/math]. — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения:

[math]\displaystyle{ (i\nabla\!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta^{4}(x'-x)\qquad ( 1 ) }[/math],

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

[math]\displaystyle{ \psi_{ab}(x_{3},x_{4})=\int{d\sigma{(x_{1})}d\sigma{(x_{2})}S^{ab}{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})} \qquad ( 2 ) }[/math],

Здесь [math]\displaystyle{ \psi_{ab} }[/math] — спинор, обладающий двумя спинорными индексами [math]\displaystyle{ a,b }[/math]. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

[math]\displaystyle{ S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2}) }[/math]

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, [math]\displaystyle{ S^{ab} }[/math] представляется в виде:

[math]\displaystyle{ S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma }[/math]

Под [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] понимается сумма всевозможных диаграмм, получаемых из теории возмущения. Основная идея, приводящая к уравнению заключается в том, что всю сумму диаграмм мы обозначаем, как некоторое ядро [math]\displaystyle{ K }[/math]. Мы будем называть диаграмму приводимой, если после удаления двух фермионных линий она становится несвязной. Тогда [math]\displaystyle{ K }[/math] можно представить в виде суммы двух вкладов: вклада приводимых диаграмм и вклада неприводимых диаграмм [math]\displaystyle{ \overline{K} }[/math]. Можно показать, что выражение для [math]\displaystyle{ S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2}) }[/math] может быть переписано как:

[math]\displaystyle{ S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_{F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int{d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d^{4}x_{8}\cdot iS^{a}_{F}(x_{3},x_{5})iS^{b}_{F}(x_{4},x_{6})\overline{K}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1},x_{2})} }[/math]

Подставляя это выражение в [math]\displaystyle{ ( 2 ) }[/math] получаем уравнение Бете — Солпитера:

[math]\displaystyle{ \psi_{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi_{ab}(x_{1},x_{2})+\int{d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4} x_{5} d^{4}x_{6}\cdot iS^{a}_{F}(x_{1},x_{5})iS^{b}_{F}(x_{2},x_{6})\overline{K}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad ( 3 ) }[/math]

В этом выражении [math]\displaystyle{ \varphi_{ab} }[/math] — свободная двучастичная волновая функция, то есть волновая функция в отсутствии взаимодействия между частицами. Таким образом, получили интегральное уравнение Фредгольма II рода.

Интегро-дифференциальная форма записи уравнения Бете — Солпитера. Запись в p-пространстве

Подействуем теперь на уравнение Бете-Солпитера операторами [math]\displaystyle{ (i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b}) }[/math], в силу [math]\displaystyle{ ( 1 ) }[/math] получим следующее выражение:

[math]\displaystyle{ (i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})=-\int{d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})} }[/math]

Соответственно вместо интегрального уравнения типа Фредгольма, мы получаем интегро-дифференциальное уравнение на двухчастичную волновую функцию [math]\displaystyle{ \psi_{ab}(x_{1},x_{2}) }[/math]. Ещё одной возможной формой записи уравнения Бете-Солпитера, является запись в импульсном пространстве, а именно, определим преобразование Фурье двухчастичной волновой функции [math]\displaystyle{ \psi_{ab}(x_{1},x_{2}) }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ \chi_{ab}(p_{1},p_{2})=\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi_{ab}{(x_{1},x_{2})}} }[/math]

Фурье преобразования самого уравнения Бете-Солпитера запишется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})\psi_{ab}(x_{1},x_{2})}=-\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})} }[/math]

В левой части можно перенести градиенты на экспоненту при помощи интегрирования по частям. Также добавим в правую часть две дельта-функции. Получим:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla\!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla\!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\right]\psi_{ab}(x_{1},x_{2})}= }[/math][math]\displaystyle{ =-\frac{1}{(2\pi)^{4}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\delta^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta^{4}(x'_{4}-x_{4})\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi_{ab}(x_{3},x_{4})} }[/math]

Используя импульсное представление дельта-функций со штрихованными переменными мы можем переписать ядро [math]\displaystyle{ \overline{K}^{ab} }[/math] в импульсном представлении, а именно:

[math]\displaystyle{ \overline{K}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})=\frac{1}{(2\pi)^{8}}\int{d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}\overline{K}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})} }[/math]

Используя это, мы получаем уравнение Бете-Солпитера в импульсной форме:

[math]\displaystyle{ (\cancel{p}_{1}-m_{a})(\cancel{p}_{2}-m_{b})\chi_{ab}(p_{1},p_{2})=-\int{d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}\overline{K}^{ab}(p_{1},p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi_{ab}(p'_{1},p'_{2})} }[/math]

Другие представления

В связи со своей общностью и тем, что оно применяется во многих разделах теоретической физики, уравнение Бете — Солпитера можно встретить в разных формах. Одной из форм, часто используемой в физике высоких энергий, является:

[math]\displaystyle{ \Gamma(P,p) =\int\!\frac{d^4k}{(2\pi)^4} \; K(P,p,k)\, S(k-\tfrac{P}{2}) \,\Gamma(P,k)\, S(k+\tfrac{P}{2}) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — амплитуда Бете — Солпитера, [math]\displaystyle{ K }[/math] описывает взаимодействие двух частиц, а [math]\displaystyle{ S }[/math] — их пропагатор.

Так как данное уравнение может быть получено путём отождествления связанных состояний с полюсами S-матрицы, то его можно связать с квантовым описанием процессов рассеяния и функциями Грина.

Даже для простых систем, таких как позитроний, уравнение не может быть решено точно, хотя в принципе оно сформулировано точно. К счастью, классификация состояний может быть проведена без использования точного решения. Если одна частица гораздо массивнее другой, то задача значительно упрощается, и в этом случае решается уравнение Дирака для лёгкой частицы, находящейся, во внешнем потенциале, создаваемом тяжёлой частицей.

Литература

• W. Greiner, J. Reinhardt. Quantum Electrodynamics. — 3rd. — Springer (publisher), 2003. — ISBN 978-3-540-44029-1.
• N. Nakanishi. A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation (англ.) // Progress of Theoretical Physics. — 1969. — Vol. 43. — P. 1–81. — doi:10.1143/PTPS.43.1.
• Н.Н Боголюбов, Д.В Ширков, Введение в теорию квантованных полей,1973